14 maja, 2015 przez

DrexFactor – zmatematyzowana teoria poiek (tłumaczenie) #2


Matematyczna klasyfikacja tricków na poi – modelowanie kwiatków drugiego i trzeciego stopnia przy użyciu trygonometrii

Modelowanie kwiatków i innych prostych tricków

Żeby zobaczyć jak te nasze funkcje odnoszą się do poiek fajnie będzie móc je jakoś zwizualizować. Możemy to zrobić praktycznie każdym kalkulatorem graficznym (Grapher  na Macach, Microsoft Mathematics na Windowsach). Większość diagramów zrobiłem zrzutem ekranu właśnie z Graphera. Pierwszy wygląda tak:

6

 

Powyżej mamy wykres równania z poprzedniej części artykułu:

X=sin(t)

Y=cos(t)

(pamiętamy, że Drex zamianił przyporządkowanie dla osi i teraz x liczy sie sinusem, a y cosinusem – dokładnie odwrotnie niż w równaniu na końcu poprzedniej części).

T zawiera się w przedziale od 0 do 2pi. Jeżeli używacie teraz kalkulatora, upewnijcie się, że jest ustawiony do liczenia parametrycznego. Kiedy wrzucimy powyższe równania powinniśmy otrzymać właśnie pojedyncze kółko o promieniu 1. To jest pierwszy pattern jaki możemy stworzyć – trajektoria pojedynczego statycznego spinu. Możemy założyć, że ręka/uchwyt jest nieskończenie małym, nieruchomym punktem w środku wykresu. Nie jest to prawda, bo ręka nie jest ani nieruchoma ani nieskończenie mała, ale chodzi tu po prostu o idealizację ruchu, bez względu czy jest ona możliwa fizycznie czy nie.

Idźmy dalej i zajmijmy się nieco bardziej skomplikowanym wykresem funkcji:

X=sin(t)+sin(t)

Y=cos(t)+cos(t)

7

Na pierwszy rzut oka wygląda tak samo jak poprzedni, ale wynika to z tego, że trochę zmniejszyłem podgląd I przez to łatwo przeoczyć fakt, że to kółko ma średnicę 2 jednostek, a nie 1. Co to ma wspólnego z trickami? Poika wydłużyła się dwukrotnie? Nie do końca. Dodam jeszcze jedną rzecz i popatrzcie:

8

Mamy teraz duże kółko i małe kółko, to małe modelowane przy użyciu naszego pierwszego wzoru. Teraz łatwiej zrozumieć zależność pomiędzy nimi – duże kółko to trajektoria poiki, a małe – ręki. Innymi słowy, możemy pierwszy zestaw funkcji w naszym równaniu traktować jako opisujące ruch ręki, a drugi zestaw jako opisujący ruch poiki:

9

Pamiętając o tej zależności możemy teraz modelować trochę bardziej złożony wzorek używając następującego równania:

x=sint+sin(2t)

y=cost+cos(2t)

10

Narysowaliśmy jednopłatkowy spinowy kwiatek z trajektorią ręki o średnicy równej długości jednej poiki. Co się zmieniło? Jak widać w równaniu, wzór opisujący ruch poiki został zmodyfikowany i teraz t zostaje podwojone zanim wyliczymy z niego funkcje trygonometryczne. To oznacza, że poiki robi teraz dwa kółka, a nie jedno na jeden cykl ruchu ręki. Jak to jednak jest, że przy dwóch kółkach mamy tylko jeden płatek? Użyta tutaj metoda opiera się na kartezjańskim układzie odniesienia, o absolutnym zorientowaniu więc  jest tutaj coś takiego jak „dolny bit” i „górny bit” (dramatyczne uproszczenie). Przy dwóch kółkach dostajemy dwa dolne bity poiki na każdy jeden dolny bit ręki (dolne bity to najniższe punkty wykresy dla poiki i ręki) i stąd kształt wykresu.

Zobaczmy co się stanie jeżeli do wykresu wrzucimy przeciwne wartości (-2 zamiast 2):

x=sint+sin(-2t)

y=cost+cos(-2t)

11

Dostajemy dwa zupełnie różne wykresy, ale oba mają konsekwentnie 2 dolne bity poiki na każdy dolny bit ręki. Tutaj mamy to wyraźnie zaznaczone:

12

Nazwalibyśmy kształt po prawej trójpłatkowym flowerkiem w antyspinie albo kolokwialnie mercedesem (trykwetrą). W zasadzie już w tym momencie zaczyna być widoczna wyraźna reguła: kiedy t mnożymy przez dodatnią liczbę uzyskujemy kwiatek w inspinie, kiedy mnożymy przez liczbę ujemną dostajemy antyspiny. Sprawdźmy jak to będzie wyglądało dla:

x=sint+sin(3t)

y=cost+cos(3t)

13

Oraz dla:

x=sint+sin(-3t)

y=cost+cos(-3t)

14

No i jest tak właśnie jak przewidzieliśmy! Pomnożywszy t przez 3 dostaliśmy dwupłatkowy inspinowy wzór, natomiast kiedy pomnożyliśmy t przez -3 dostaliśmy czteropłatkowy wzór antyspinowy. Być może niektórzy z was zwrócili uwagę, że możemy po prostu podstawić do wzoru zamiast konkretnych cyfr zmienną d (downbeat = dolne bity po angielsku) dzięki czemu otrzymamy wzór ogólny:

x=sint+sin(dt)

y=cost+cos(dt)

Możemy też dzięki temu szybko obliczyć ilość płatków:

p=|1-d|

(Drex tego nie tłumaczy, zakłądając, że wszyscy wiedzą czym jest wartość bezwzględna – dla przypomnienia – te pionowe kreski to nie nawias tylko właśnie znak wartości bezwzględnej i dają one tyle, że wynik bez względu na rezultat odejmowania traktujemy jako dodatni – liczy się bezwzględna odległość wyniku od zera).

Dla d=-2 wynikiem będzie 3 (mercedes), a dla d=2 wynikiem będzie 1, czyli wszystko się zgadza.

(nota edytorska: w praktyce jest to trochę bardziej skomplikowane. Równanie nie ma postaci p=|1-d| tylko p=|h-d| i oznacza, że od ilości obrotów ręki odejmujemy ilość obrotów poiki w spinie lub antyspinie – ze znakiem ujemności. W praktyce niewiele to zmienia, bo mało kto robi flowerki do których potrzebuje dwóch obrotów ręki, ale są takie i warto o tym pamiętać).

Co jednak kiedy chcemy wymodelować jakiś kształt należących do rodziny unit circles (okręgów jednostkowych), czyli takich, w których trajektoria obrotu ręki ma długość połowy poiki? Narysujemy jeden, klasyczną izolację:

x=1/2sint-sint

y=1/2cost-cost

15

Nie przybliżałem widoku żeby oddać skalę pomiędzy tym wzorem, a poprzednimi. Dla tego równania widzimy, że faktycznie średnica narysowanego kółka to połowa długości poiki. Co więcej – trajektoria głowicy i trajektoria ręki się pokrywają ponieważ poprzez wstawienie ujemnych parametrów dla obrotu ręki dłoń znajduje się po przeciwnej stronie kółka niż poika. Możemy to zmienić i narysować extension (przedłużenie) w oparciu i unit circle (czyli ręka robi małe kółko, a poika duże):

x=1/2sint+sint

y=1/2cost+cost

16

Teraz wykres poiki ma średnicę jednej i pół poiki, a wykres ręki znowu ma długość połowy poiki. A co jeśli chcemy narysować cateye (kocie oko)? Cateye są antyspinowe więc musimy przemnożyć t w wykresie poiki przez liczbę ujemną: -1. Równanie ma wtedy postać:

x=1/2sint+sin(-t)

y=1/2cost+cos(-t)

17

Ciekawscy mogą też sobie narysować poziomego cateye’a równaniem: x=1/2sint-sin(-t), y=1/2cost-cos(-t).

18

Po zabawie z tymi wszystkimi przykładami możemy z całą pewnością założyć, że da się opisać wszystkie flowery i wzorki oparte o unit circle przy pomocy następującego wzoru:

x=hsint+psin(dt)
y=hcost+pcos(dt)

Gdzie h to średnica trajektorii ręki, p to pozycja poiki na początku wzorka (przypomnijcie sobie co Drex pisał na początku o tym, że mu się wykres obraca o 90 stopni jak zmieni plus na minus w tym miejscu wzoru), a d to ilość dolnych bitów poiki relatywnych do dolnych bitów ręki (to znaczy, że dolne bity poiki i ręki zaznaczamy z tej samej strony wykresu – obojętnie z której, byle konsekwentnie z tej samej). Oto wartości dla narysowanych przez nas wzorów:

Mercedes:
h=1
p=1
d=-2
Izolacja:
h=½
p=-1
d=1
2-płatkowy Inspin:
h=1
p=1
d=3
Cateye:
h=½
p=1
d=-1
Extension:
h=1
p=1
d=1

To w zasadzie wystarczy do tego żeby narysować i opisać większość kręcenia w 2d jakie jest aktualnie uprawiane. Jednak nie nadaje się ten wzór do opisu ani kręcenia trzeciego stopnia ani kręcenia w 3d. Możemy jednak łatwo go poprawić i rozszerzyć tak żeby można było modelować także te dwa style. Zaczniemy od kwiatków trzeciego stopnia bo łatwo je narysować też w 2d.

Modelowanie ruchów trzeciego stopnia

Ruchy trzeciego stopnia do przedłużenie idei kwiatków, po raz pierwszy nazwane w ten sposób (third order motions) przez Damiena Boisbouvier po przeanalizowaniu kilku patternów, w tym Diamentu Zana (Zan’s Diamond). Jeżeli zwykłe kwiatki składają się z dwóch osi obrotu (środek trajektorii ręki – z reguły staw ramieniowy oraz uchwyt poiki), to kwiatki trzeciego stopnia powstają przez dodanie trzeciej osi obrotu. Udaje się to osiągnąć z raguły na jeden z dwóch sposobów:

Poprzez traktowanie łokcia tak jak normalnie traktuje się ramię (druga oś obrotu) oraz używanie ramienia jako osi obrotu dla łokcia (trzecia oś rotacji, z pierwszą w dłoni).

Poprzez poruszanie ręką po wyobrażonym torze powstałym poprzez zastosowanie dwóch środków rotacji, w tej sytuacji są one czysto wirtualne i nie są fizycznie obecne w ruchu.

W obu przypadkach mamy wszystkie potrzebne narzędzia do tego żeby to zrozumieć i narysować poprzez prostą ekstrapolację tego, co już wiemy o kwiatkach. Ponieważ mamy teraz już trzy osie obrotu, po prostu dodamy kolejny segment do równania, które już znamy. Na przykład Diament Zana możemy narysować przy użyciu następującego wzoru:

x=sint-sin(-3t)+sin(5t)

y=cost-cos(-3t)+cos(5t)

19

Tutaj też narysował trajektorię ręki więc jej relacja do ruchu poiki jest w miarę jasna. W tym konkretnym przypadku ręka porusza się tak samo jak poika w czteropłatkowym kwiatku antyspinowym, a poika dodaje po dwa płatki na końcu każdego płatka tworzonego prez rękę. Trzeba w tym miejscu zwrócić uwagę na to, że zasady określające ruch poiki i ręki trochę się zmieniły. Teraz dwa pierwsze człony równania określają ruch ręki, a trzeci człon określa ruch poiki:

20

Inny przykład takiego typu ruchu (ochrzczonego mianem kwiatków fraktalnych – fractal flowers) mamy poniżej. Wzór do niego jest następujący:

x=sint+sin(-2t)-sin(4t)

y=cost+cos(-2t)-cos(4t)

21

Widzimy, że trajektorią ręki jest mercedes z sześciopłatkowym wzorem tworzonym przez poikę nałożonym na siebie. Zauważmy, że pierwszy i drugi zestaw warunków (sint i cost we wzorze powyżej w pierwszym i drugim rzędzie oraz sin(-2t) i cos(-2t)) mnoży zmienną t przez 1 (pierwszy), zaś drugi  przez -2, co daje proporcję 1:-2, czyli -1/2. Podobnie, relacja pomiędzy mnożnikami zmiennej t w drugim i trzecim segmencie równania to -2:4, czyli znowu -1/2. Co oznacza, że ilość dolnych bitów w pierwszym segmencie równania i w drugim rośnie wg tej samej proporcji. Ponieważ taki wzór ma pewną ograniczoną powtarzalność w swojej strukturze, nazywamy takie kwiatki kwiatkami fraktalnymi (fractal flowers).

Zarówno Diament Zana jaki fractal flower powyżej są przykładami powszechnego zjawiska zachodzącego w ruchach trzeciej generacji, czyli dublowania każdego antyspinowego płatka w trajektorii ręki przez ruch poiki. Takie zjawisko można nazwać ruchem trzeciej generacji typu antyspin-antyspin, czyli ręka porusza się po trajektorii antyspinowego kwiatka, a poika przeciwnie do kierunku ruchu ręki. Wzór powyżej nadaje się do przewidywania także pozostałych kombinacji: inspin-antyspin, antyspin-inspin oraz inspin-inspin. Co prawda te trzy ostatnie typy ruchów nie są szczególnie często używane, ale i tak dostarczę też wzory i na nie.

Na początek inspin- antyspin:

x=sint+sin(3t)-sin(-5t)

y=cost+cos(3t)-cos(-5t)

22

Jest to mercedesowe rozszerzenie (czyli dwa antyspinowe płatki na każdy płatek trajektorii ręki) nałożone na dwupłatkową inspinową trajektorię ręki.

Dla antyspina-inspina mamy wzór np. taki:

x=sint+sin(-3t)-sin(-7t)

y=cost+cos(-3t)-cos(-7t)

23

Ten wzorek powstaje kiedy na trajektorię ręki będącą czteropłatkowym antyspinowym flowerem nałożymy jednopłatkowy spinowy płatek w miejsce każdego płatka ruchu ręki. Można zauważyć, że zarówno drugi jak i trzeci segment równania ma ujemny mnożnik przy zmiennej t. Nie oznacza to, że gdzie po drodze zgubiliśmy antyspina, po prostu musiałem trochę ten wykres poobracać żeby płatki się dobrze na siebie nakładały. Innym sposobem byłoby dodanie pi do ostatniego segmentu:

x=sint+sin(-3t)-sin(7t+pi)

y=cost+cos(-3t)-cos(7t+pi)

I na koniec inspin-inspin, który można narysować na przykład tak:

x=sint+sin(3t)+sin(5t)

y=cost+cos(3t)+cos(5t)

24

Tutaj na każdy płatek dwupłatkowej inspinowej trajektorii ręki dodaliśmy jeden inspinowy płatek ruchu poiki. Po przedstawieniu kilku przykładów flowerów trzeciego stopnia możemy teraz złożyć do końca uniwersalne równanie do rysowania ich wszystkich:

x=hsint+psin(dt)+qsin(ft)
y=hcost+pcos(dt)+qcos(ft)

h to średnica pierwszego centrum rotacji (ramie zazwyczaj), p to pozycja drugiego centrum rotacji (trajektoria ręki – chodzi o jak obrócony jest wykres), d to ilość downbeatów na trajektorii ręki, q to pozycja trajektorii poiki (znowu chodzi o to jak obrócony jest wykres), f to ilość downbeatów na trajektorii poiki. Trochę sporo tych zmiennych;)

zestawy zmiennych dla różnych rodzajów ekspancji trzeciego stopnia:

mercedesowa dla inspinów-inspinów: p=+-1, d<=-1, q=-p, f=|d|+2

fraktalne flowery  w antyspinach-antyspinach: p=+-1, d<=-1, q=+-1, f=d^2; zwróćcie uwagę na to, że wartości p i q muszą być często posprawdzane w różnych kombinacjach żeby osiągnąć jakiś fajny efekt estetyczny.

 

<<<== poprzednia część

Jezus

Więcej o Jezus

Kto mnie zna ten wie, kto nie zna nie wie ile kolorytu z życia traci. Kręcę poi i buugengami i trochę za dużo gadam i myślę.