14 maja, 2015 przez

DrexFactor – zmatematyzowana teoria poiek (tłumaczenie) #1


Od tłumacza

Generalnie to jest tak, że ten artykuł to takie must read dla każdego kto poważnie myśli o zrozumieniu czo ta poika. Drex napisał go kawałek czasu temu i od tego czasu co prawda teoria poszła znacznie do przodu, ale też w takie rejony matematyki, że bez studiów trudno byłoby do tego podejść, a prezentuje on tu bajecznie proste metody graficznego przedstawiania tricków, które można na bieżąco samemu potestować.

Artykuł jest tłumaczony 1:1, co oznacza, że wszystkie zwroty w pierwszej osobie są zwrotami Drexa, a nie moimi. Starałem się, by był on przetłumaczony po polsku, a nie po polskiemu, ale jednocześnie maksymalnie wierny oryginałowi, który można znaleźć tutaj:

https://docs.google.com/document/d/11DVxKtISpmnmcHcKp9wDW_ysLeKluF2iESnhm7EqF2E/edit

Następna część za chwilę, dalsze, jak znam życie – na zimę, bo w sezonie po prostu nie idzie znaleźć chwili spokoju żeby coś porządnie potłumaczyć.

Enjoy! (if u can:P )

Zmatematyzowany sposób klasyfikowania tricków na poikach – wprowadzenie i podstawy

Cztery miesiące temu Jon Alvarez zadał na Poi Chat wydawałoby się proste pytanie, które ostatecznie skłoniło mnie do podjęcia się jednego z najbardziej mamucich zadań w moim życiu: zdefiniowania w jednym miejscu wszystkich poikowych ruchów. Nikt do tej pory tego nie zrobił, i ciekawiło mnie – dlaczego? Nie było ani spójnych definicji ujętych w jakimś glosariuszu ani jednego spójnego systemu ich definiowania, przynajmniej w sieci.

Bez wątpienia, jako społeczność wolimy wymyślać tricki niż zajmować się ich definiowaniem albo rozważaniem idei, które za nimi stoją, choćby błędnie pojętych, które pozwoliłyby ocenić czy dany trick mieści się w definicji. Zazwyczaj o wiele fajniej jest wyskoczyć z nowym trickiem niż go wytłumaczyć. Dodatkowo nawet jeżeli chce nam się to zrobić, to takie definiowanie i tak z reguły spotyka się z gorącą dyskusją nawet wśród znajomych. W swojej nieogarnionej mądrości zawędrowałem w głąb tego bagna, jednak dotarłem zgoła nie tak gdzie się spodziewałem. Po pierwsze: jedynym znanym mi sposobem sformalizowania definicji tricków w ścisły sposób była dla mnie matematyka, jako najściściślejszy z języków. Kilka lat temu fizyk Adam Dipert nauczył mnie podstaw matematyki stojącej za ruchami poiek, zmieniając w pewien sposób moje życie. Jednocześnie jestem świadomy, że taka forma definicji oznacza konieczność nauczenia trygonometrii, która jest tu podstawą wszystkich tych, którzy chcieliby z tej wiedzy skorzystać.

50 stron i trzy dni później napisałem coś, czego nasza społeczność wcześniej nie miała – w miarę kompletny przewodnik po trygonometrii używanej przy modelowaniu tricków na poikach, od flowerów do torusów. W jednym miejscu zawarłem wiedzę, którą cześć z nas miała już od dawna, zwłaszcza ci zajmujący się innymi dyscyplinami kuglarstwa.

Osiągnąłem swój cel – zdefiniowałem tyle ruchów ile mogłem używając tylko zmiennych matematycznych. Mam jednak nadzieję, że ostatecznie uda się też zmobilizować pozostałych, mających wielkie zasoby wiedzy, do spisania jej i podzielenia się nią z innymi. W ten sposób uwiecznimy nasze osiągnięcia i ułatwimy uczenie się następnym generacjom poikarzy.

W międzyczasie zamieszczam ten artykuł jako google doc z otwartym dostępem (dostępny tutaj), oraz na moim blogu w częściach co przy okazji ułatwi przeszukiwanie go. Potem opublikuję całość w sekcji z odnośnikami. Mam nadzieję, że coś dla siebie z tego wyciągniecie. To była praca wyrastająca z pasji. Wielkie dzięki dla moich edytorów: Jexi, Pierre’a Baudin i Adama Diperta za przebrnięcie przez to i za ich genialne wskazówki jak to ulepszyć.

Wprowadzenie

Poi jest być może najbardziej unikalnym połączeniem sztuki, ruchu, matematyki i nauki współczesności. Swoje korzenie ma na Nowej Zelandii w tańcach ludowych sprzed czasów historycznych, potem zostało przeniesione na grunt popkultury i zintegrowane ze sztukami walki, tańcem i innymi typami manipulacji przedmiotami. W obecnej formie poi jest tworzeniem krzywych w trójwymiarowej przestrzeni przy użyciu ciężarka na lince trzymanej w dłoni. Pomimo tak prostego oprzyrządowania w ciągu ostatniej dekady poi po prostu eksplodowało zarówno w mnogości form jak i ludzi, którzy się nim zajmują.

W miarę powiększania się społeczności i zbliżania do kulturowego mainstreamu, centrum dyskusji stała się cała gama kontrowersji dzielących tę społeczność. Jedną z nich jest sama kwestia definiowania nawet najprostszych tricków. Z jednej strony większość definicji postała ad hoc, na bieżące potrzeby, z drugiej mamy bardzo dużej regionalne różnice w nazewnictwie i klasyfikacji – w takiej sytuacji naprawdę nietrudno o kłótnię co jest co i jak powinno się to nazywać.

Mamy jako poikarze jednak trochę szczęścia, bo większość tego, co robimy można modelować używając trywialnej matematyki. Właściwie sporo ruchów można opisać używając trygonometrii, którą większość z nas zna z liceum. To daje nam dwa plusy: po pierwsze znając wzory już znanych tricków i znając zmienne, które je generują, możemy sobie te zmienne podmieniać i dostawać tricki, których jeszcze nie znamy, i to w bardzo prosty sposób. Rozszerza to naszą składnię dotyczącą tricków oraz naszą wiedzę o nich. Po drugie: możemy dowiedzieć się zmiana których wartości generuje nowe rodziny tricków i poznać granice pomiędzy nimi, na podstawie których możemy tworzyć spójne i konkretne definicje, łatwe do sformalizowania i ewentualnej falsyfikacji.

Ponieważ taki sposób pracy nie jest jakoś szczególnie popularny, napisałem ten artykuł z dwoma założeniami w głowie:

  1. Nauczenie innych jak modelować ruchy poiek przy użyciu znanych mi wzorów trygonometrycznych
  2. Stworzenie pierwszego sformalizowanego systemu klasyfikacji tricków na poikach używającego abstraktów matematycznych zamiast metafor i określeń słownych

W celu ograniczenia tego i tak przydługiego artykułu ograniczam się tutaj tylko do ruchów powstających przy użyciu pojedynczej poiki i ciała performera. Nie uwzględniam tutaj niczego co dotyczyłoby: hybryd, inwersji, timing and direction, etc (mam coś na ten temat na później, o ile mi odbije i spróbuję to napisać). Z tymi założeniami w głowie, artykuł jest podzielony na dwie części: pierwszą edukacyjną, poświęconą podstawom trygonometrii oraz drugą, opisową gdzie przy użyciu funkcji trygonometrycznych będziemy modelować różne tricki i szukać dla nich cech charakterystycznych oraz różnych wersji. Znajdziemy równanie ogólne dla wszystkich tricków i zobaczymy co możemy z niego wyciągnąć.

Na początek matematyka.

Podstawy

Poi to mały ciężarek połączony z ręką przy pomocy sznurka albo łańcucha. Zazwyczaj ćwiczy się używają 2 poi, po jednej na rękę, ale w ciągu ostatnich kilku lat przybyło ludzi eksplorujących możliwości jakie dają 3 i 4 poiki. Materiały, z których są zbudowane zmieniają się w zależności od gustu, położenia geograficznego i tego co ma się pod ręką. Niemniej jednak podstawy tego jak poi się porusza zależą od tego jak performer będzie przykładał i dynamicznie zmieniał siłę z jaką działa na głowicę poiki poprzez rękę, uchwyt i linkę – prosta zasada działania dający na wyjściu wielkie bogactwo możliwości.

Dominującym nastawieniem do tej pory było takie kręcenie, w którym pionowo ustawione krzywe były prezentowane publiczności w taki sposób, żeby widziała jak największą część tych krzywych. Ponieważ większość z tych ruchów ma mniej lub bardziej kolisty lub elipsoidalny kształt z centrum obrotu w dłoni lub ramieniu, do ich opisu możemy użyć matematyki stworzonej do pracy z okręgami i potem dodawać kolejne poziomy uszczegółowienia w celu zobrazowania coraz bardziej kompleksowych patternów. Jednak na początek kilka zastrzeżeń:

Takie typ matematyki jest doskonały do opisu prostych systemów, w których dwa punkty zachowują się w relacji do siebie, ale nie w momencie kiedy wchodzą w interakcje z obiektami trzecimi. Łatwo opiszemy jak poi porusza się w przestrzeni, ale jej ruch wokół ciała i w interakcji z ciałem często będzie poza naszymi możliwościami. Skupimy się zatem na tym jakie krzywe kreśli w przestrzeni poi w relacji do uchwytu i ręki, ale nie na sytuacjach, w których musimy omijać jakieś przeszkody albo wchodzić w bezpośrednią interakcję z innymi częściami ciała lub otoczeniem. Co oznacza brak kontaktów, wrapów, ruchów w negatywnej przestrzeni ciała (między nogami np.) oraz podrzutów.

Dodatkowo – matematyka, której będziemy używać jest dobra do opisu pełnych krzywych, ale słabiej nadaje się do modelowania niedokończonych albo złożonych patternów. Jest co prawda fragment na ten temat, ale kompleksowość opisu rośnie tu dramatycznie w miarę wzrastania ilości ruchów w sekwencji.

Modelowanie ruchu poiki w tym systemie dokonuje się przy założeniu, że nie bierzemy pod uwagę grawitacji. Ponieważ za ruchem ostatecznie i tak stoi przyspieszenie przykładane do głowicy, często faktycznie grawitacja nie ma aż tak wielkiego znaczenia dla zrozumienia jak powstaje danych ruch, jednak warto i tak o tym wspomnieć dla porządku.

Podstawy matematyki okresowej

W tej sekcji skupię się na podstawach matematyki okresowej. Nie ma potrzeby jej czytać żeby dokładnie zrozumieć dalsze fragmenty, zwłaszcza jeśli czytelnik już zna trygonometrię. Zatem jeśli uznacie, że nie musicie się dalej dokształcać, możecie spokojnie przejść dalej.

1

Funkcje trygonometryczne są najłatwiejszym z narzędzi modelowania zachowania funkcji okresowych w czasie. Jestem wielkim dłużnikiem Adama Diperta za nauczenie mnie jak uprościć matematykę funkcji okresowych żeby nadawała się do modelowania ruchu poiek; podobnie jestem wdzięczny Willowi Ruddickowi za wsparcie mnie w tworzeniu symulacji komputerowych dzięki którym zgłębiłem do końca symulowanie poi przy użyciu wspomnianej metody matematycznej.

Na początek musimy zrozumieć funkcje sinus i cosinus. Po lewej znajduje się obrazek typowego trójkąta prostokątnego z zaznaczonymi narożnikami ABC oraz bokami abh. Jeżeli zaczniemy od rogu A, to zauważymy, że przecinają się w nim dwa boki: b oraz h. Bok h nazywany jest przeciwprostokątną (bo jako jedyna nie przecina się z innym bokiem przy kącie prostym trójkąta – tutaj C). Dwa pozostałe boki to przyprostokątne – przyległa do danego kąta (b) (tu alfa) oraz przeciwna dla tego kąta (h).

Naszą pierwszą funkcję zdefiniujemy opisując stosunek przeciwnej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej (a/h), otrzymując w ten sposób sinus kąta alfa:

sin(alfa)=a/h

W zależności od długości boków dostaniemy przedział proporcji od 0:1 do 1:1.

Podobnie, jeśli ustalimy stosunek przylegające przyprostokątnej do przeciwprostokątnej otrzymamy cosinus kąta alfa:

Cos(alfa)=b/h

Przedział proporcji będzie tutaj zamykał się pomiędzy 1:1, a 0:1. Jednak stosunek boków dla cos będzie zawsze inny niż dla sin wyjąwszy sytuacje kiedy a=b.

Teraz, skoro znamy wzory, możemy zobaczyć co te wzory rysują i jak dopasować ich zmienne tak, żeby zmieniać wykresy tak jak potrzebujemy.

Na początek policzymy wyniki dla kilku wartości sin(x) (za x podstawiam radiany, a nie kąty – jeżeli liczycie na kalkulatorze graficznym to upewnijcie się, że też macie ustawione RAD, a nie DEG albo dostaniecie inne wyniki). O radianach będzie trochę więcej za chwilę.

x
0
pi/4
pi/2
3pi/4
pi
5pi/4
3pi/2
7pi/4
2pi
y
0
0.707*
1
0.707*
0
-0.707*
-1
-0.707*
0

*wyniki zostały zaokrąglone.

Jak widzimy, chociaż wartość x ciągle rośnie, wartość y oscyluje pomiędzy zerem, a jedynką, przechodząc poprzez wszystkie poprzednie wartości w okresowych interwałach. Gif na dole pokazuje jak to wygląda w praktyce.

2

Jak widać, wykres równania przedstawia gładką, falistą linię znaną jako sinusoida. Nie wykracza ona poza wartości od 1 do -1 (odległość od osi x) oraz jej długość wynosi 2 (odległość pomiędzy punktami, gdzie zaczyna się powtarzać). Zobaczmy teraz jak będziemy zmieniać aplitudę i długość fali dla funkcji y=sin(x).

Na początek zmieńmy długość fali. Żeby to zrobić, przemnożymy x zanim zostanie potraktowane funkcją sin. Popatrzmy na to w ten sposób: za każdym razem kiedy przemnożymy x przez 2, dostajemy wynik dwa razy dalej na osi. Równanie wygląda tak: y=sin(2x) i zmienia wartości z tabeli powyżej na następujące:

x
0
pi/4
pi/2
3pi/4
pi
5pi/4
3pi/2
7pi/4
2pi
y
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0

Zauważamy, że nasz wynik dla 2pi się nie zmienił, ale wynik dla 3pi/4 równa się wynikowi dla 3pi/2 z poprzedniego równania. To daje nam wykres poniżej:

3

Dalej ma on aplitudę 1, ale zaczyna się powtarzać trochę dalej niż na 2.

A jak zmieniamy aplitudę? Zmienianie wartości x zanim przeszło przez funkcję nic tu nie dało więc trzeba to zrobić później. Wzór na to wyglądać będzie tak: y=2sin(x), co daje nam następujące wyniki:

x
0
pi/4
pi/2
3pi/4
pi
5pi/4
3pi/2
7pi/4
2pi
y
0
1.414*
2
1.414*
0
-1.414*
-2
-1.414*
0

*tak jak poprzednio, zaokrągliłem zbyt długie wyniki.

Teraz nasze wartości dla y zamykają się pomiędzy 2, a -2, zaś funkcja znów powtarza się z okresem 2. Jak widać, przemnożenie całej funkcji przez 2 zwiększyło aplitudę dwukrotnie. Wykres dla tej funkcji wygląda tak:

4

Jest jeszcze jedna operacja, która nie ma wpływu ani na aplitudę ani na długość okresu funkcji, ale i tak się nam przyda. Chodzi o przesunięcie punktu startowego sinusoidy. Do tej pory zawsze zaczynała się ona w punkcie 0,0 wykresu. Żeby to osiągnąć, zamiast mnożyć wartości, będziemy do nich dodawać. Możemy to robić i przed zastosowaniem funkcji i po – nie ma to wpływu na wynik. Dla tego przykładu możemy użyć równie dobrze równania y=sin(x+2) jak i y=sin(x)+2. Oba dadzą te same rezultaty. Na swój użytek z reguły używam tego pierwszego wzoru. Tabela wyników wyglądać będzie tak:

x
0
pi/4
pi/2
3pi/4
pi
5pi/4
3pi/2
7pi/4
2pi
y
1
0.707*
0
-0.707*
-1
-0.707*
0
0.707*
1

*wartości znów zaokrąglone.

Teraz wykres zaczyna nam się w punkcie 0;1, a wykres wygląda tak:

5

Wykres zaczyna się w krańcowym wychyleniu sinusoidy, a nie jak poprzednio, w połowie drogi między górką, a doliną. Innym zabawnym efektem tego przesunięcia jest to, że chociaż nie zaczęliśmy się jeszcze bawić wzorem y=cos(x), to już dostaliśmy jego wykres, bo y=sin(x+2) wygląda tak samo. I tak samo będzie z wieloma innymi wartościami, które możemy dodać do równania.

Z tą całą wiedzą w głowie możemy podać ogólny wzór na funkcję okresową:

Y=asin(bx+c)

Gdzie a będzie amplitudą, b, długością fali, a c przesunięciem wzdłuż osi x. Pamiętając o tym będzie nam znacznie łatwiej nie zgubić się w dalszym ciągu artykułu.

Teraz możemy zaaplikować nowo nabytą wiedzę do kreślenia krzywych, które się zapętlają, np. okręgów. Ponieważ sin i cos posiadają wykresy przesunięte o ¼ długości fali, możemy użyć tych dwóch funkcji do narysowania okręgu przy wartościach x=sin(t) i y=cos(t) dający wartości pomiędzy 0, a 2.

Kilka słów o radianach

Dlaczego akurat 2? Matematycy zajmujący się trygonometrią często zamiast stopni posługują się wartością zwaną radianem. Ponieważ obwód koła jest dwa razy większy niż jego promień przemnożony przez pi (2*pi*r), możemy równie dobrze pominąć wartość r przy kalkulacjach i uznać, że obwód koła to po prostu 2. Każdy kąt, którego szukamy na obwodzie tego koła będzie po prostu odcinkiem z jego średnicy. Np. kąt prosty (90 stopni) to ¼ koła, czyli 2 dzielimy przez cztery i dostajemy ½. Jeśli wygodniejsze jest dla Was myślenie stopniami, to przy obliczeniach przekonwertujcie sobie jakąkolwiek wartość t (radiany) w następujący sposób: d(stopnie)=t(180/pi). Do końca artykuły będziemy posługiwać się wartością zawierającą się pomiędzy 0, a 2 – chyba, że zaznaczę inaczej.

Okrąg jednostkowy (unit circle)

Rysowanie okręgu przy pomocy funkcji sin i cos zwane jest techniką okręgu jednostkowego – daje nam okrąg o promieniu jednej jednostki miary danego układu odniesienia. Konwencja nakazuje przyporządkować cos do osi x, a sin do osi y, w praktyce:

X=cos(t)

y=sin(t)

Bedę troche nieortodoksyjny i odstąpię od takiego sposobu rysowania kształtów z dwóch powodów: po pierwsze przesuwa nam ono punkt startowy na prawy skraj wykresu na osi x przez mercedesy są skierowane nie w dół tylko w bok (taki przykład – w praktyce każdy pattern będzie skierowany w prawo zamiast w osi pionowej). Pierwsza przyczyna jest natury estetycznej, druga wynika z przyzwyczajenia – kręcę zazwyczaj zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a takie sposób rysowania patternów prowadzi do wykresów w przeciwnym kierunku.

Tradycjonaliśmi mogą pozamieniać wzory dla osi x i y i w efekcie dostaną wykresy pasujące do standardowego podejścia. Nie zmienia to poprawności wniosków jakie wyciągam na podstawie tych obliczeń. Kwestia gustu tak naprawdę.

następna część ==>>>

Jezus

Więcej o Jezus

Kto mnie zna ten wie, kto nie zna nie wie ile kolorytu z życia traci. Kręcę poi i buugengami i trochę za dużo gadam i myślę.